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多维动态规划练习

多维动态规划一般涉及两个及以上维度的状态。常见的有路径问题（二维数组）、双字符串比较（LCS, 编辑距离）或区间 DP。

62. 不同路径 (Unique Paths)​

题目描述​

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角。机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角。有多少条不同的路径？

解题思路​

状态定义 dp[i][j] 为到达 (i, j) 的路径数。 状态转移：dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]。利用一维数组优化空间。

Java 代码实现​

class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        int[] dp = new int[n];
        Arrays.fill(dp, 1);
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            for (int j = 1; j < n; j++) {
                dp[j] += dp[j - 1];
            }
        }
        return dp[n - 1];
    }
}

64. 最小路径和 (Minimum Path Sum)​

题目描述​

给定一个包含非负整数的 m x n 网格 grid ，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。

解题思路​

状态转移：dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j]。

Java 代码实现​

class Solution {
    public int minPathSum(int[][] grid) {
        int m = grid.length, n = grid[0].length;
        for (int i = 1; i < m; i++) grid[i][0] += grid[i - 1][0];
        for (int j = 1; j < n; j++) grid[0][j] += grid[0][j - 1];
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            for (int j = 1; j < n; j++) {
                grid[i][j] += Math.min(grid[i - 1][j], grid[i][j - 1]);
            }
        }
        return grid[m - 1][n - 1];
    }
}

5. 最长回文子串 (Longest Palindromic Substring)​

题目描述​

给你一个字符串 s，找到 s 中最长的回文子串。

解题思路​

中心扩散法。遍历每个字符（中心）和字符间（两个中心），向外扩散判断。也可使用 DP：dp[i][j] = (s[i] == s[j]) && dp[i+1][j-1]。

Java 代码实现​

class Solution {
    public String longestPalindrome(String s) {
        if (s == null || s.length() == 0) return "";
        int start = 0, end = 0;
        for (int i = 0; i < s.length(); i++) {
            int len1 = expand(s, i, i), len2 = expand(s, i, i + 1);
            int len = Math.max(len1, len2);
            if (len > end - start) {
                start = i - (len - 1) / 2; end = i + len / 2;
            }
        }
        return s.substring(start, end + 1);
    }
    private int expand(String s, int L, int R) {
        while (L >= 0 && R < s.length() && s.charAt(L) == s.charAt(R)) {
            L--; R++;
        }
        return R - L - 1;
    }
}

1143. 最长公共子序列 (Longest Common Subsequence)​

题目描述​

给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长 公共子序列 的长度。

解题思路​

状态定义 dp[i][j] 为 s1[0...i] 和 s2[0...j] 的 LCS。 状态转移：

  • s1[i] == s2[j]：dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1。
  • s1[i] != s2[j]：dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])。

Java 代码实现​

class Solution {
    public int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) {
        int m = text1.length(), n = text2.length();
        int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];
        for (int i = 1; i <= m; i++) {
            for (int j = 1; j <= n; j++) {
                if (text1.charAt(i - 1) == text2.charAt(j - 1)) dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                else dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
}

72. 编辑距离 (Edit Distance)​

题目描述​

给你两个单词 word1 和 word2，请你计算出将 word1 转换成 word2 所使用的最少操作数 。你可以对一个单词进行插入、删除、替换操作。

解题思路​

状态定义 dp[i][j] 为 w1 前 i 到 w2 前 j 的最小编辑距离。 状态转移：

  • w1[i] == w2[j]：不操作，dp[i][j] = dp[i-1][j-1]。
  • w1[i] != w2[j]：取三种操作（增、删、改）中的最小值加 1。

Java 代码实现​

class Solution {
    public int minDistance(String word1, String word2) {
        int m = word1.length(), n = word2.length();
        int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];
        for (int i = 0; i <= m; i++) dp[i][0] = i;
        for (int j = 0; j <= n; j++) dp[0][j] = j;
        for (int i = 1; i <= m; i++) {
            for (int j = 1; j <= n; j++) {
                if (word1.charAt(i - 1) == word2.charAt(j - 1)) dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
                else dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j - 1], Math.min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])) + 1;
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
}