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二分查找

二分查找逻辑的核心在于单调性。不仅限于有序数组，也可用于寻找“峰值”或特定分割满足性问题。

35. 搜索插入位置 (Search Insert Position)​

题目描述​

给定一个排序数组和一个目标值，在数组中找到目标值，并返回其索引。如果目标值不存在于数组中，返回它将会被按顺序插入的位置。

请必须使用时间复杂度为 O(log n) 的算法。

解题思路​

基本二分框架。

  1. L = 0, R = nums.length - 1。
  2. 循环 while (L <= R)。
  3. mid = (L + R) / 2。
  4. 如果 nums[mid] == target，返回 mid。
  5. 退出循环时，L 恰好是第一个大于等于 target 的位置，即插入位置。

Java 代码实现​

class Solution {
    public int searchInsert(int[] nums, int target) {
        int l = 0, r = nums.length - 1;
        while (l <= r) {
            int mid = l + (r - l) / 2;
            if (nums[mid] == target) return mid;
            else if (nums[mid] < target) l = mid + 1;
            else r = mid - 1;
        }
        return l;
    }
}

74. 搜索二维矩阵 (Search a 2D Matrix)​

题目描述​

给你一个 m x n 的整数矩阵 matrix ，该矩阵具有如下特性：

  • 每行中的整数从左到右按非严格递增顺序排列。
  • 每行的第一个整数大于前一行的最后一个整数。

给你一个整数 target ，如果 target 在矩阵中，返回 true ；否则，返回 false 。

解题思路​

虚拟一维化映射。 将矩阵看作一个长度为 m * n 的一维数组。

  1. val = matrix[mid / n][mid % n]。
  2. 进行标准二分。

Java 代码实现​

class Solution {
    public boolean searchMatrix(int[][] matrix, int target) {
        int m = matrix.length, n = matrix[0].length;
        int l = 0, r = m * n - 1;
        while (l <= r) {
            int mid = l + (r - l) / 2;
            int x = matrix[mid / n][mid % n];
            if (x == target) return true;
            if (x < target) l = mid + 1;
            else r = mid - 1;
        }
        return false;
    }
}

162. 寻找峰值 (Find Peak Element)​

题目描述​

峰值元素是指其值严格大于左右相邻值的元素。

给你一个整数数组 nums，找到峰值元素并返回其索引。数组可能包含多个峰值，在这种情况下，返回 任何一个峰值 所在位置即可。

你可以假设 nums[-1] = nums[n] = -∞ 。

你必须实现时间复杂度为 O(log n) 的算法来解决此问题。

解题思路​

二分趋势搜寻。

  1. mid = (L + R) / 2。
  2. 如果 nums[mid] < nums[mid + 1]，说明正在上坡，峰值一定在右侧。
  3. 否则说明在下坡，峰值在左侧（包含当前点）。

Java 代码实现​

class Solution {
    public int findPeakElement(int[] nums) {
        int l = 0, r = nums.length - 1;
        while (l < r) {
            int mid = l + (r - l) / 2;
            if (nums[mid] < nums[mid+1]) l = mid + 1;
            else r = mid;
        }
        return l;
    }
}

33. 搜索旋转排序数组 (Search in Rotated Sorted Array)​

题目描述​

整数数组 nums 按升序排列，数组中的值 互不相同 。

在传递给函数之前， nums 在预先未知的某个下标 k（0 <= k < nums.length）上进行了 旋转，使数组变为 [nums[k], nums[k+1], ..., nums[n-1], nums[0], nums[1], ..., nums[k-1]]（下标 从 0 开始 计数）。例如， [0,1,2,4,5,6,7] 在下标 3 处旋转后可能变为 [4,5,6,7,0,1,2] 。

给你 旋转后 的数组 nums 和一个整数 target ，如果 nums 中存在这个目标值 target ，则返回它的下标，否则返回 -1 。

你必须设计一个时间复杂度为 O(log n) 的算法解决此问题。

解题思路​

分类讨论：哪一半是有序的？

  1. 如果 nums[l] <= nums[mid]，则左半部分有序。
    • 若 target 在左半部分范围内，缩小 r = mid - 1，否则在右侧。
  2. 否则右半部分必定有序。
    • 若 target 在右半部分范围内，缩小 l = mid + 1，否则在左侧。

Java 代码实现​

class Solution {
    public int search(int[] nums, int target) {
        int l = 0, r = nums.length - 1;
        while (l <= r) {
            int mid = (l + r) / 2;
            if (nums[mid] == target) return mid;
            if (nums[l] <= nums[mid]) {
                if (target >= nums[l] && target < nums[mid]) r = mid - 1;
                else l = mid + 1;
            } else {
                if (target > nums[mid] && target <= nums[r]) l = mid + 1;
                else r = mid - 1;
            }
        }
        return -1;
    }
}

34. 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置 (Find First and Last Position of Element in Sorted Array)​

题目描述​

给你一个按照非递减顺序排列的整数数组 nums，和一个目标值 target。请你找出给定目标值在数组中的开始位置和结束位置。

如果数组中不存在目标值 target，返回 [-1, -1]。

你必须设计并实现时间复杂度为 O(log n) 的算法解决此问题。

解题思路​

两次二分查找边界。

  1. 定义一个辅助函数 find(nums, target, lower)：
    • 如果 lower 为 true，查找第一个大于等于 target 的下标（左边界）。
    • 如果 lower 为 false，查找第一个大于 target 的下标（右边界）。
  2. 开始位置 = find(nums, target, true)。
  3. 结束位置 = find(nums, target, false) - 1。
  4. 注意检查越界和是否真的等于 target。

Java 代码实现​

class Solution {
    public int[] searchRange(int[] nums, int target) {
        int left = find(nums, target, true);
        int right = find(nums, target, false) - 1;
        if (left <= right && right < nums.length && nums[left] == target) {
            return new int[]{left, right};
        }
        return new int[]{-1, -1};
    }
    private int find(int[] nums, int target, boolean lower) {
        int l = 0, r = nums.length - 1, res = nums.length;
        while (l <= r) {
            int mid = (l + r) / 2;
            if (nums[mid] > target || (lower && nums[mid] >= target)) {
                r = mid - 1;
                res = mid;
            } else {
                l = mid + 1;
            }
        }
        return res;
    }
}

153. 寻找旋转排序数组中的最小值 (Find Minimum in Rotated Sorted Array)​

题目描述​

整数数组 nums 原本是一个升序数组，并进行了 1 到 n 次旋转。例如，数组 nums = [0,1,2,4,5,6,7] 可能变为：

  • 若旋转 4 次，则可以得到 [4,5,6,7,0,1,2]
  • 若旋转 7 次，则可以得到 [0,1,2,4,5,6,7]

注意，数组 [a[0], a[1], a[2], ..., a[n-1]] 旋转一次 的结果为数组 [a[n-1], a[0], a[1], ..., a[n-2]] 。

给你一个元素值 互不相同 的数组 nums ，它原来是一个升序排列的数组，并按上述情形进行了多次旋转。请你找出并返回数组中的 最小元素 。

你必须设计一个时间复杂度为 O(log n) 的算法解决此问题。

解题思路​

二分法寻找突变点。

  1. 始终拿 nums[mid] 与右边界 nums[right] 比较。
  2. 若 nums[mid] < nums[right]，收缩右边界 right = mid。
  3. 若 nums[mid] > nums[right]，收缩左边界 left = mid + 1。

Java 代码实现​

class Solution {
    public int findMin(int[] nums) {
        int l = 0, r = nums.length - 1;
        while (l < r) {
            int mid = l + (r - l) / 2;
            if (nums[mid] < nums[r]) r = mid;
            else l = mid + 1;
        }
        return nums[l];
    }
}

4. 寻找两个正序数组的中位数 (Median of Two Sorted Arrays)​

题目描述​

给定两个大小分别为 m 和 n 的正序（从小到大）数组 nums1 和 nums2。请你找出并返回这两个正序数组的 中位数 。

算法的时间复杂度应该为 O(log (m+n)) 。

解题思路​

划分数组法 (Partitioning)。

  1. 目标是在 nums1 中找到划分 i，在 nums2 中找到划分 j，使左半边最大值小于右半边最小值。
  2. 满足 i + j = (m + n + 1) / 2。
  3. 二分优化：对较短数组进行。

Java 代码实现​

class Solution {
    public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {
        if (nums1.length > nums2.length) return findMedianSortedArrays(nums2, nums1);
        int m = nums1.length, n = nums2.length;
        int l = 0, r = m;
        while (l <= r) {
            int i = (l + r) / 2;
            int j = (m + n + 1) / 2 - i;
            int L1 = (i == 0) ? Integer.MIN_VALUE : nums1[i - 1];
            int R1 = (i == m) ? Integer.MAX_VALUE : nums1[i];
            int L2 = (j == 0) ? Integer.MIN_VALUE : nums2[j - 1];
            int R2 = (j == n) ? Integer.MAX_VALUE : nums2[j];
            
            if (L1 <= R2 && L2 <= R1) {
                if ((m + n) % 2 == 1) return Math.max(L1, L2);
                return (Math.max(L1, L2) + Math.min(R1, R2)) / 2.0;
            } else if (L1 > R2) r = i - 1;
            else l = i + 1;
        }
        return 0.0;
    }
}