数学公式

LaTeX 以其强大的数学公式排版能力著称，这是它成为学术写作首选工具的重要原因之一。本章将详细介绍如何在 LaTeX 中编写专业、美观的数学公式。

数学模式深入理解

LaTeX 的数学排版基于"数学模式"的概念。在数学模式下，LaTeX 使用特殊的字体、间距规则和排版逻辑来处理公式。

为什么需要数学模式？

普通文本模式和数学模式的排版规则完全不同：

排版规则	普通文本	数学模式
字体	斜体用于强调	变量斜体，运算符正体
间距	单词间有空格	根据运算符自动调整
连字	启用（如 fi, fl）	禁用
断行	允许单词间断行	公式通常不换行
标点	文本标点	数学标点（如 $x, y$ ）

行内公式与行间公式

行内公式嵌入在段落文本中，字体略小，适合短公式：

著名的质能方程 $E = mc^2$ 由爱因斯坦提出。

行内公式会压缩上下标以减少行距变化：

% 行内：上下标在右侧
$\sum_{i=1}^n x_i$  

% 对比：行间公式上下标在上下
\[\sum_{i=1}^n x_i\]

行间公式独立成行，居中显示，使用完整尺寸：

重要的积分公式：
\[
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}
\]

数学模式中的文本

在数学模式中插入普通文本需要使用 \text 命令：

\[
f(x) = \begin{cases}
x^2, & \text{如果 } x \geq 0 \\
-x^2, & \text{如果 } x `<` 0
\end{cases}
\]

常见错误：直接在数学模式中写中文或英文单词

% 错误：中文和英文单词会变成斜体变量
\[ x 是正数 \]           % "是"和"正数"会显示异常

% 正确：使用 \text 命令
\[ x \text{ 是正数} \]

amsmath 宏包配置

amsmath 是数学排版的必备宏包，提供了丰富的数学环境和命令。建议在所有包含数学公式的文档中加载它。

基本配置

\usepackage{amsmath}      % 核心数学功能
\usepackage{amssymb}      % 扩展数学符号
\usepackage{mathtools}    % amsmath 的扩展（可选但推荐）

mathtools 的优势

mathtools 是 amsmath 的超集，修复了一些问题并添加了新功能：

\usepackage{mathtools}

% 改进的括号自动调整
\[
\DeclarePairedDelimiter{\abs}{\lvert}{\rvert}
\abs{x}              % 不调整大小
\abs*{\frac{a}{b}}   % 自动调整大小
\abs[\bigg]{x}       % 手动指定大小
\]

% dcases 环境：自动使用 displaystyle
\[
f(x) = \begin{dcases}
\frac{x^2}{2}, & x \geq 0 \\
-\frac{x^2}{2}, & x `<` 0
\end{dcases}
\]

基本运算详解

四则运算与运算符

LaTeX 区分"运算符"和"普通符号"：

% 运算符：自动处理间距
$a + b$        % 加号是运算符，前后有适当间距

% 普通符号：无特殊间距
$a \times b$   % 乘号也是运算符
$a \cdot b$    % 点乘

% 比较不同乘号的用法
$a \cdot b$    % 点乘，用于标量积
$a \times b$   % 叉乘，用于向量积
$a b$          % 省略乘号（变量并排）

上下标深入理解

上下标可以嵌套和组合，但要注意花括号的使用：

% 单字符上下标
$x^2$          % 上标
$x_1$          % 下标

% 多字符必须用花括号
$x^{10}$       % 正确：x 的 10 次方
$x^10$         % 错误：输出 x¹0

% 嵌套上下标
$x^{y^z}$      % x 的 y^z 次方
$x_{i_j}$      % x 的 i_j 下标

% 同时使用上下标
$x_1^2$        % 下标在前或后都可以
$x^2_1$        % 效果相同

% 复合结构
$^{235}_{92}U$ % 铀-235的核素表示

分数的正确使用

LaTeX 提供三种分数命令，适用于不同场景：

% \frac：标准分数
$\frac{a}{b}$           % 标准大小

% \dfrac：display分数，强制使用行间公式大小
$\dfrac{a}{b}$          % 较大，适合行内需要强调的分数

% \tfrac：text分数，强制使用行内公式大小
$\tfrac{a}{b}$          % 较小，适合行间公式中的小分数

% 连续分数
\[
\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+x}}}
\]

选择建议：

场景	推荐命令
行内普通分数	`\frac` 或 `\tfrac`
行间主公式分数	`\frac` 或 `\dfrac`
行间公式中的小分数	`\tfrac`
连分数	`\cfrac`

根号的细节

$\sqrt{x}$             % 平方根
$\sqrt[3]{x}$          % 立方根
$\sqrt[n]{x}$          % n 次根

% 嵌套根号
$\sqrt{\sqrt[3]{x}}$

% 根号内的分数会自动调整大小
$\sqrt{\frac{a}{b}}$

求和、积分与极限

求和符号

求和符号的位置根据公式环境自动调整：

% 行内：上下标在右侧
$\sum_{i=1}^{n} x_i$

% 行间：上下标在上下
\[\sum_{i=1}^{n} x_i\]

% 强制上下位置（使用 \limits）
$\sum\limits_{i=1}^{n} x_i$

% 取消上下位置（使用 \nolimits）
\[\sum\nolimits_{i=1}^{n} x_i\]

多条件求和：

% 使用 \substack 处理多行条件
\[
\sum_{\substack{0 \le i \le n \\ 0 \le j \le m}} a_{ij}
\]

% 或使用 aligned
\[
\sum_{\begin{aligned} &i=1,\ldots,n \\ &j=1,\ldots,m \end{aligned}} a_{ij}
\]

积分符号

% 基本积分
$\int_a^b f(x) dx$           % dx 前应有空格

% 推荐添加小空格
$\int_a^b f(x) \, dx$        % \, 提供小空格

% 多重积分
$\iint_D f(x,y) \, dx \, dy$
$\iiint_V f(x,y,z) \, dx \, dy \, dz$

% 围道积分
$\oint_C f(z) \, dz$

% 积分限的特殊位置
$\int\limits_a^b f(x) \, dx$

微分符号的最佳实践：

% 定义微分命令（推荐放在导言区）
\newcommand{\dif}{\mathrm{d}}   % 直立的 d

% 使用
$\int_a^b f(x) \, \dif x$

% 或使用 physics 宏包
\usepackage{physics}
$\int_a^b f(x) \dd x$           % \dd 自动处理

极限

% 基本极限
$\lim_{x \to \infty} f(x)$

% 行间显示
\[\lim_{x \to \infty} f(x)\]

% 带方向的极限
\[\lim_{x \to 0^+} f(x)\]      % 右极限
\[\lim_{x \to 0^-} f(x)\]      % 左极限

% 多变量极限
\[\lim_{\substack{x \to 0 \\ y \to 0}} f(x,y)\]

矩阵排版

各种矩阵环境

amsmath 提供了多种矩阵环境：

环境	括号类型	示例
`matrix`	无括号	$\begin{matrix} a & b \end{matrix}$
`pmatrix`	圆括号 ()	$\begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix}$
`bmatrix`	方括号 []	$\begin{bmatrix} a & b \end{bmatrix}$
`Bmatrix`	花括号	$\begin{Bmatrix} a & b \end{Bmatrix}$
`vmatrix`	单竖线 \|\|	$\begin{vmatrix} a & b \end{vmatrix}$
`Vmatrix`	双竖线 \|\|\|	$\begin{Vmatrix} a & b \end{Vmatrix}$

% 基本矩阵
\[
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23}
\end{pmatrix}
\]

% 分块矩阵
\[
\begin{pmatrix}
A & B \\
C & D
\end{pmatrix}
\]

% 带省略号的大型矩阵
\[
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{pmatrix}
\]

行内小矩阵

对于行内公式中的小型矩阵，使用 smallmatrix 环境：

% 小矩阵（无括号）
$(\begin{smallmatrix} a & b \\ c & d \end{smallmatrix})$

% 使用 mathtools 的 psmallmatrix（有括号）
$\begin{psmallmatrix} a & b \\ c & d \end{psmallmatrix}$

多行公式对齐

align 环境

align 是最常用的多行公式环境，使用 & 指定对齐位置：

% 多个等式对齐
\begin{align}
a &= b + c \\
  &= d + e + f
\end{align}

% 多组对齐
\begin{align}
a &= b &\quad c &= d \\
e &= f &\quad g &= h
\end{align}

% 不编号的行（使用 \nonumber 或 \notag）
\begin{align}
a &= b + c \nonumber \\
  &= d + e \label{eq:example}
\end{align}

% 整个环境不编号
\begin{align*}
a &= b + c \\
  &= d + e
\end{align*}

gather 环境

当公式不需要对齐时使用 gather：

\begin{gather}
a = b + c \\
d = e + f + g
\end{gather}

multline 环境

对于超长公式，使用 multline 自动分段：

\begin{multline}
a + b + c + d + e + f + g + h + i \\
+ j + k + l + m + n + o + p
\end{multline}

split 环境

在 equation 环境内分行：

\begin{equation}
\begin{split}
(a + b)^2 &= a^2 + 2ab + b^2 \\
(a - b)^2 &= a^2 - 2ab + b^2
\end{split}
\end{equation}

环境选择指南

场景	推荐环境
多个等式，对齐等号	`align`
多个等式，无需对齐	`gather`
超长单公式	`multline`
单编号的分行公式	`equation` + `split`
条件定义（分段函数）	`cases`

定界符与括号

自动调整大小

使用 \left 和 \right 自动匹配括号大小：

% 自动调整
\[
\left( \frac{a}{b} \right)
\]

% 支持多种括号
\left( ... \right)     % 圆括号
\left[ ... \right]     % 方括号
\left\{ ... \right\}   % 花括号（需转义）
\left| ... \right|     % 竖线
\left\| ... \right\|   % 双竖线
\left\langle ... \right\rangle  % 尖括号

注意事项

% \left 和 \right 必须成对出现
% 如果只需要一边的括号，用 . 表示空

\[
\left. \frac{\dif y}{\dif x} \right|_{x=0}
\]

% 有时自动调整不够精确，可以手动调整
\[
\bigl( \Bigr( \biggl( \Biggl(
\]

% 大小顺序：`\big` `<` `\Big` `<` `\bigg` `<` `\Bigg`

数学字体

LaTeX 提供多种数学字体，用于表示不同的数学对象：

命令	字体	用途
`\mathbb{R}`	黑板粗体	数集（ $\mathbb{R}$ , $\mathbb{C}$ , $\mathbb{N}$ ）
`\mathbf{x}`	粗体	向量、矩阵
`\mathcal{L}`	花体	算子、变换（如拉格朗日量 $\mathcal{L}$ ）
$\mathscr{L}$	手写体	高级花体
`\mathfrak{g}`	哥特体	李代数等
`\mathsf{x}`	无衬线	特殊标识
`\mathtt{x}`	等宽	代码、算法

% 常用数集符号
$\mathbb{R}$ - 实数集
$\mathbb{C}$ - 复数集
$\mathbb{N}$ - 自然数集
$\mathbb{Z}$ - 整数集
$\mathbb{Q}$ - 有理数集

% 向量表示
$\mathbf{v} = (v_1, v_2, v_3)$

% 算子
$\mathcal{L}[f] = \int_0^\infty f(t) e^{-st} dt$

% 哥特体（李代数）
$\mathfrak{sl}(n, \mathbb{C})$

黑体向量的最佳实践：

% 使用 bm 宏包获得更好的粗体效果
\usepackage{bm}

$\bm{x}$    % 粗斜体向量
$\mathbf{x}$ % 粗正体

% 希腊字母粗体
$\bm{\alpha}$  % 需要 bm 宏包

定理环境

定义定理环境

% 在导言区定义
\usepackage{amsthm}

\theoremstyle{plain}           % 斜体正文
\newtheorem{theorem}{定理}[section]
\newtheorem{lemma}[theorem]{引理}
\newtheorem{corollary}[theorem]{推论}

\theoremstyle{definition}      % 正体正文
\newtheorem{definition}{定义}[section]
\newtheorem{example}{例}[section]

\theoremstyle{remark}          % 正体正文，无编号
\newtheorem*{remark}{注}

使用定理环境

\begin{theorem}[勾股定理]
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
\end{theorem}

\begin{proof}
设直角边为 $a$、$b$，斜边为 $c$。
通过面积法可以证明 $a^2 + b^2 = c^2$。
\end{proof}

\begin{definition}
设 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$，若对任意 $x, y$ 有
$f(x+y) = f(x) + f(y)$，则称 $f$ 为加性函数。
\end{definition}

自定义定理样式

\newtheoremstyle{mytheorem}
    {10pt}        % 上方间距
    {10pt}        % 下方间距
    {\itshape}    % 正文字体
    {}            % 缩进
    {\bfseries}   % 标题字体
    {.}           % 标题后标点
    { }           % 标题后间距
    {\thmname{#1}\thmnumber{ #2}\thmnote{ (#3)}}

\theoremstyle{mytheorem}
\newtheorem{proposition}{命题}

常见问题与解决方案

问题1：公式编号不正确

% 问题：公式编号与引用不匹配
% 解决：多次编译

xelatex document.tex   % 第一遍：生成标签
xelatex document.tex   % 第二遍：更新引用

问题2：公式过长超出页边

% 方案1：使用 multline 环境
\begin{multline}
很长的公式...
\end{multline}

% 方案2：手动分行
\begin{align}
f(x) &= A + B + C \\
     &\quad + D + E
\end{align}

% 方案3：使用 \resizebox（不推荐，仅作应急）
\resizebox{.9\linewidth}{!}{$很长的公式$}

问题3：行内公式破坏行距

% 问题：分数或大型公式使行距不均匀
% 解决：使用 \smash 或 \mathclap

% 使用 smash 隐藏高度
$\smash{\dfrac{a}{b}}$

% 使用 mathtools 的 \mathclap 处理宽公式
$\sum_{\mathclap{i=1,\ldots,n}} a_i$

问题4：矩阵中的点号位置不正确

% 水平点
$\cdots$    % 居中水平点（运算符之间）
$\ldots$    % 底部水平点（列表项之间）
$\vdots$    % 垂直点
$\ddots$    % 对角点

% 正确的矩阵点号使用
\[
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{pmatrix}
\]

问题5：中文数学字体问题

% 使用 ctex 宏包自动处理
\usepackage{ctex}

% 或使用 xeCJK 单独配置
\usepackage{xeCJK}
\setCJKmainfont{SimSun}

宏包推荐

宏包	用途
`amsmath`	数学公式核心（必需）
`amssymb`	扩展数学符号
`mathtools`	amsmath 扩展（推荐）
`bm`	粗体数学符号
`physics`	物理学常用符号和宏
`unicode-math`	Unicode 数学字体（XeLaTeX/LuaLaTeX）
`breqn`	自动断行公式

小结

本章详细介绍了 LaTeX 数学公式排版：

数学模式：理解行内与行间公式的区别和使用场景
amsmath 配置：使用 amsmath 和 mathtools 增强数学排版
基本运算：正确使用上下标、分数、根号
求和积分极限：理解 \limits 和 \nolimits 的作用
矩阵排版：掌握各种矩阵环境和省略号使用
多行公式：根据需求选择 align、gather、multline 等环境
定界符：正确使用 \left/\right 和手动调整
数学字体：区分数集、向量、算子等的字体表示
定理环境：定义和使用专业的定理样式

LaTeX 的数学排版功能是其最强大的特性之一，熟练掌握这些技巧可以显著提升学术论文的专业性。

数学模式深入理解​

为什么需要数学模式？​

行内公式与行间公式​

推荐与不推荐的语法​

数学模式中的文本​

amsmath 宏包配置​

基本配置​

mathtools 的优势​

基本运算详解​

四则运算与运算符​

上下标深入理解​

分数的正确使用​

根号的细节​

求和、积分与极限​

求和符号​

积分符号​

极限​

矩阵排版​

各种矩阵环境​

行内小矩阵​

多行公式对齐​

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自动调整大小​

注意事项​

推荐的括号命令​

数学字体​

定理环境​

定义定理环境​

使用定理环境​

自定义定理样式​

常见问题与解决方案​

问题1：公式编号不正确​

问题2：公式过长超出页边​

问题3：行内公式破坏行距​

问题4：矩阵中的点号位置不正确​

问题5：中文数学字体问题​

宏包推荐​

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